Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，且橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓相交于兩點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（1）由橢圓定義得，又橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，由橢圓幾何條件得，解得， （2）聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式求得，再利用點到直線距離公式求高，根據三角形面積公式得．最后利用基本不等式求最值.

試題解析：解：（Ⅰ）由已知，設橢圓的方程為．

∵橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，

∴．

又，∴．

由，得．

∴橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）設．

聯立消去，得．

此時有．

由一元二次方程根與系數的關系，得

， ．

∴．

∵原點到直線的距離，

∴．

由，得．又，∴據基本不等式，得

．

當且僅當時，不等式取等號．

∴面積的最大值為．