Question

給出如下四個命題：①回歸直線方程y=

b

x+

a

必過點(

.

x

，

.

y

)；②冪函數y=（m²-m-1）x^1-m在R上是減函數；③“a，b∈[0，1]”是“函數f(x)=

1

3

ax3-bx2+ax+π有兩相異極值點的概率為

1

2

”的充要條件；④命題“?x∈[1，2]，x²-1≥0”的否定為“?x∈[1，2]，x²-1＜0”．其中正確命題的個數是（　　）

A．①③

B．②③

C．①④

D．②④

Answer 1

分析：第①個命題說明回歸直線通過樣本中心點．
②：由冪函數的概念判斷出m²-m-1等于1；列出等式求出m，再根據象關于y軸對稱驗證其指數為偶數．再判斷其單調性；
③：先利用導數求出函數f(x)=

1

3

ax3-bx2+ax+π在R上有兩個相異極值點的充要條件，得出關于a，b的約束條件，在a-o-b坐標系中畫出可行域，再利用幾何概型求出兩者的面積比即可．
④：特稱命題“?x∈[1，2]，x²-1≥0”的否定是：把?改為?，其它條件不變，然后否定結論，變為一個特稱命題．即“?x∈[1，2]，x²-1＜0”．

解答：解：對于①，已知n個散點A_i（x_i，y_i），（i=1，2，3，…，n）的線性回歸方程為

y

=bx+a，若a=

.

y

-b

.

x

，（其中

.

x

=

1

n

n

i=1

xi，

.

y

=

1

n

n

i=1

yi），則此回歸直線必經過點（

.

x

，

.

y

），這說明回歸直線一定經過樣本中心點，故正確．
對于②：∵冪函數f（x）=（m²-m-1）x^1-m
∴m²-m-1=1⇒m=-1或m=2
當m=2時，冪函數f（x）=（m²-m-1）x^1-m=x^-1，
它不在R上是減函數，故錯；
③：易得f′（x）=ax²-2bx+a，
對于函數f(x)=

1

3

ax3-bx2+ax+π在R上有兩個相異極值點的充要條件：
是a≠0且其導函數的判別式大于0，即a≠0且4b²-4a²＞0，
又若a，b在區間[0，1]上取值，則b＞a，
點（a，b）滿足的區域如圖中陰影部分所示，
其中正方形區域的面積為1，陰影部分的面積為

1

2

，
但反之不能成立，因為當a，b在區間[1，2]上取值時，也得到有兩相異極值點的概率為

1

2

”．故錯．
對于④，全稱命題“?x∈[1，2]，x²-1≥0”的否定是特稱命題：“?x∈[1，2]，x²-1＜0”．故正確．
故選C．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、命題的否定、線性回歸方程、幾何概型等基礎知識，考查運算求解能力，考查轉化思想．屬于基礎題．