Question

如圖，銳角三角形ABC中，以BC為直徑的半圓分別交AB、AC于點D、E，則△ADE與△ABC的面積之比為（　　）

• A、cosA
• B、sinA
• C、sin²A
• D、cos²A

Answer 1

考點：圓內接多邊形的性質與判定

專題：選作題,立體幾何

分析：連接BE．構建直角△ABE，通過解該直角三角形求得cosA=

AE

AB

；然后通過相似三角形△AED∽△ABC的對應邊的比成比例知

AE

AB

=

AD

AC

；最后結合三角形的面積公式分別求得△ADE、△ABC的面積．

解答： 解：如圖，連接BE．
∵BC為半圓的直徑，
∴∠BEC=∠AEB=90°．
∴在直角△ABE中，cosA=

AE

AB

，
∵點D、B、C、E四點共圓，
∴∠ABC+∠DEC=180°．
∵∠DEC+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠AED．
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴

AE

AB

=

AD

AC

．
∵S_△ADE=

1

2

AE•AD•sinA，S_△ABC=

1

2

AB•AC•sinA，
∴S_△ADE：S_△ABC=

AE•AD

AB•AC

=

AE2

AB2

=cos²A．
故選：D．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理以及解直角三角形等知識點．解答該題時，借用了圓內接四邊形的內對角互補的性質．