Question

【題目】對數函數（且）和指數函數（且）互為反函數.已知函數，其反函數為．

（1）若函數定義域為，求實數的取值范圍．

（2）若為定義在上的奇函數，且時，．求的解析式．

（3）定義在上的函數，如果滿足：對任意的，存在常數，都有成立，則稱函數是上的有界函數，其中為函數的上界.若函數，當時，探究函數在上是否存在上界，若存在求出的取值范圍，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）k＞1，（2），（3）見解析

【解析】

（1）根據對數函數的定義域為R，轉化為kx2+2x+1 > 0恒成立，進行求解（2）根據奇函數的性質及時的解析式即可求函數的解析式（3）利用分子常數化，結合上界的定義分別進行判斷、求解即可.

（1）由題意知，，

的定義域為R，

恒成立，

當時，不滿足條件，

當時，若不等式恒成立，

則，即.

（2）時，，

設，則，

，

為定義在上的奇函數，

，

當時，，

，

綜上

（3），

當，

則在上單調遞減，

，

①若，即時，存在上界M，，

②若，即時，存在上界M，，

(ii) 當時，

①若時，在，上單調遞增，，，存在上界，，，

②若時，在，上單調遞增，，，故不存在上界．

③若時，在，上單調遞增，在，上單調遞增，，，故不存在上界，

④若，在，上單調遞增，，，故不存在上界

⑤若，在，上單調遞增，，，而，存在上界，，；

綜上所述，當時，存在上界，，，

當時，不存在上界，

當時，存在上界，，，

當，時，存在上界，，，

當，時，存在上界，，．