Question

△ABC中，B=2A，角C的平分線CD把三角形面積分成兩部分（D在AB上），且

S△BCD

S△ACD

=

2

3

，則cosA=

3

4

．

Answer 1

分析：由B=2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分線定理根據角平分線CD將三角形分成的面積之比為3：2，得到BC與AC之比，再利用正弦定理得出sinA與sinB之比，將B=2A代入并利用二倍角的正弦函數公式化簡，即可求出cosA的值．

解答：解：∵B=2A，
∴B＞A，
∴AC＞BC，
∵

S△BCD

S△ACD

=

2

3

，∴角平分線CD把三角形面積分成3：2兩部分，
∴由角平分線定理得：BC：AC=BD：AD=2：3，
∴由正弦定理

BC

sinA

=

AC

sinB

得：

sinA

sinB

=

2

3

，
整理得：

sinA

sin2A

=

sinA

2sinAcosA

=

2

3

，
則cosA=

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦定理，角平分線定理，以及二倍角的正弦函數公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．