Question

（2011•奉賢區二模）（文）設函數f(x)=ax+

4

x

(x＞0)，a∈R+．
（1）當a=2，解不等式f（x）＞9
（2）若連續擲兩次骰子（骰子六個面上分別標以數字1，2，3，4，5，6）得到的點數分別作為a和b，求f（x）＞b²恒成立的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：f（x）=2x+

4

x

＞9，即可得到

x＞0 2x2-9x+4＞0

，再利用一元二次不等式的解法得到答案．
（2）利用基本不等式可得：f(x)min=4

a

，所以由f（x）＞b²恒成立可得16a＞b⁴．首先計算出基本事件總數，再利用列舉的方法得到此事件包含的基本事件，進而根據等可能事件的概率公式得到答案．

解答：解：（1）由題意可得：a=2，
所以可得f（x）=2x+

4

x

＞9，
所以

x＞0 2x2-9x+4＞0

（3分）
解得：x∈(0，

1

2

)∪(4，+∞)（6分），
所以不等式f（x）＞9的解集為：(0，

1

2

)∪(4，+∞)．
（2）根據題意并且結合基本不等式可得：f(x)≥4

a

，所以f(x)min=4

a

（8分），
因為f（x）＞b²恒成立，
所以f（x）_min＞b²即可，即16a＞b⁴（10分）．
由題意可得：基本事件總數為6×6=36，
當a=1時，b=1；
當a=2，3，4，5時，b=1，2，；
當a=6時，b=1，2，3；
目標事件包含的基本事件的個數為1+8+3=12．
所以f（x）＞b²恒成立的概率，即16a＞b⁴的概率為

1

3

．（14分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握基本不等式、一元二次不等式的解法，以及恒成立問題（即求函數的最值），此題考查了等可能事件的概率，解決此種問題一般利用列舉法或者借助于排列與組合，此題屬于中檔題，高考命題的熱點之一．