Question

【題目】已知函數.

(1)討論函數的單調區間;

(2)若存在兩個不相等的正數,,滿足,證明:.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）先求導可得,令解得,,由的定義域為,分別討論與時的情況即可；

（2）由（1）可判定當存在兩個不相等的正數,,滿足時,,

設,利用導函數可判斷當時,,設設,則,,將代入可得,由可得,根據的單調性可得,則,利用其即可證明

（1）由題,函數的定義域為,

,

令,即,解得,,

當,即時,在上,所以在上單調遞增；

當,即時,在上,在上,所以在上單調遞減,在上單調遞增

（2）證明:由（1）,當時,在上單調遞增,則不存在兩個不相等的正數,,滿足,所以,

設,

則,

令,解得,

所以當時,,所以在上單調遞減；

當時,,所以在上單調遞增,

所以,

所以當時,,

即當時,,

由（1）得在上單調遞減,在上單調遞增,

不妨設,則,,

所以,

又因為,所以,

因為,所以,即,

因為,,,

所以