Question

設a為實數，函數f（x）=3x²-2ax+a²-1．
（1）若f（

1

2

）≥0，求a的取值范圍；
（2）若不等式f（x）≤0在x∈[

1

3

，

1

2

]上恒成立，求a的取值范圍；
（3）若x∈（a，+∞），求不等式f（x）≥0的解集．

Answer 1

分析：（1）不等式f（

1

2

）≥0，即 a²-a-

1

4

≥0，由此求得a的范圍．
（2）不等式f（x）≤0在x∈[

1

3

，

1

2

]上恒成立，等價于

f( 1 3 )≤0 f( 1 2 )≤0

，由此解得a的范圍．
（3）由于△=12-8a²=4（3-a²），對稱軸為x=

a

3

．分判別式大于零、小于或等于零兩種情況，分別求得不等式f（x）≥0的解集．

解答：解：（1）f（

1

2

）≥0，即 a²-a-

1

4

≥0，解得a的范圍為{a|a≥

1+ 2

2

，或a≤

1- 2

2

}．…（4分）
（2）不等式f（x）≤0在x∈[

1

3

，

1

2

]上恒成立，等價于

f( 1 3 )≤0 f( 1 2 )≤0

，解得

1- 2

2

≤a≤

1+ 2

2

，故a的范圍為[

1- 2

2

，

1+ 2

2

]．…（10分）
（3）由于△=12-8a²=4（3-a²），對稱軸為x=

a

3

．
①當a≥

6

2

或a≤-

6

2

時，△≤0，不等式的解集為（a，+∞）；…（12分）
②當-

6

2

＜a＜

6

2

時，△＞0，得

(x- a- 3-2a2 3 )(x- a+ 3-2a2 3 )≥0 x＞a

．
（ⅰ）當a∈(

2

2

，

6

2

)時，a＞

a+ 3-2a2

3

，不等式的解集為（a，+∞）；
（ⅱ）當a∈(-

6

2

，-

2

2

)時，a＜

a- 3-2a2

3

，
不等式的解集為(a，

a- 3-2a2

3

]∪[

a+ 3-2a2

3

，+∞)；
（ⅲ）當a∈[-

2

2

，

2

2

]時，

a- 3-2a2

3

≤a≤

a+ 3-2a2

3

，
不等式的解集為[

a+ 3-2a2

3

，+∞)．…（15分）
綜上所述，當a∈(-∞，-

6

2

]∪(

2

2

，+∞)，解集為（a，+∞）；
當a∈[-

2

2

，

2

2

]，解集為[

a+ 3-2a2

3

，+∞)；
當a∈(-

6

2

，-

2

2

)，解集為(a，

a- 3-2a2

3

]∪[

a+ 3-2a2

3

，+∞)．…（16分）

點評：本題主要考查一元二次不等式的解法，二次函數的性質，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．