Question

奇數集合A={a|a=2n+1，n∈Z}可以是由整數除以2所得余數為1的所有整數的集合，偶數集合B={a|a=2n，n∈Z}可以是由整數除以2所得余數為0的所有整數的集合．
（1）判斷集合M={x|x=2n+1，n∈Z}與N={x|x=4k±1，k∈Z}的關系．
（2）試分別寫出整數除以3所得余數為i（i=1，2，3）的所有的整數的集合．

Answer 1

解：（1）定義集合N的元素滿足：x=4k+1或x=4k-1=4（k-1）+3，（k∈Z）由此可知：集合N的元素是整數除以4得到的余數為1或3，因此集合N是由所有奇數組成的集合，故M=N；
（2）整數除以3所得余數為1的所有的整數的集合為{x|x=3n+1，n∈Z}；
整數除以3所得余數為2的所有的整數的集合為{x|x=3n+2，n∈Z}；
整數除以3所得余數為3的所有的整數的集合為{x|x=3n+3，n∈Z}．
分析：（1）定義集合N的元素滿足：x=4k+1或x=4k-1=4（k-1）+3，（k∈Z）由此可知：集合N的元素是整數除以4得到的余數為1或3，因此集合N是由所有奇數組成的集合，即可得到集合與N的關系；
（2）整數除以3所得余數為1的所有的整數可以寫成形式：x=3n+1，n∈Z；
整數除以3所得余數為2的所有的整數可以寫成：x=3n+2，n∈Z；
整數除以3所得余數為3的所有的整數可以寫成：x=3n+3，n∈Z．
點評：熟練掌握帶余除法的理論知識：n=pq+r，（0≤r＜q，q是除數）是解題的關鍵．