Question

如圖，在平行四邊形中，，，為線段的中線，將△沿直線翻折成△，使平面⊥平面，為線段的中點(diǎn).
（１）求證：∥平面；
（２）設(shè)為線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的余弦值．

Answer 1

(1)證明：取A′D的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，CE，由條件易知
FG∥CD，F(xiàn)G=CD.
BE∥CD,BE=CD.
所以FG∥BE,FG=BE.
故四邊形BEGF為平行四邊形,
所以BF∥EG
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823192018109266.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，BF平面
所以 BF//平面
（2）解：在平行四邊形,ABCD中，設(shè)BC=a
則AB=CD=2a,  AD=AE=EB=a,
連CE，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823192018218529.gif" style="vertical-align:middle;" />
在△BCE中，可得CE=a,
在△ADE中，可得DE=a,
在△CDE中，因?yàn)镃D²=CE²+DE²，所以CE⊥DE,
在正三角形A′DE中，M為DE中點(diǎn)，所以A′M⊥DE.
由平面A′DE⊥平面BCD,
可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE.
取A′E的中點(diǎn)N，連線NM、NF，
所以NF⊥DE,NF⊥A′M.
因?yàn)镈E交A′M于M,
所以NF⊥平面A′DE,
則∠FMN為直線FM與平面A′DE新成角.
在Rt△FMN中，NF=a, MN=a, FM=a,
則cos=.
所以直線FM與平面A′DE所成角的余弦值為

略