Question

【題目】已知函數（是自然對數的底數），

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求的單調區間；

（3）設，其中為的導函數，證明：對任意，

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 的單調遞增區間為；單調遞減區間為；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）對函數f(x)求導， ，代入x=1,可求得，切點坐標再點斜式可求切線方程。(2)定義域因為又得，可得單調區間。（3）， 等價于在時恒成立，由（2）知,當時， 的最大值，即證。

試題解析：（Ⅰ） 的定義域為,

由，得，∴點A的坐標為.

，所以，

所以曲線點A處的切線方程為

（Ⅱ），所以

令得，因此當時， 單調遞增；

當時， 單調遞減.

所以的單調遞增區間為；單調遞減區間為.

（Ⅲ）證明：因為，所以， 等價于在時恒成立,

由（Ⅱ）知,當時， 的最大值，

故，

因為時，

所以，

因此任意， .