Question

【題目】在四棱錐中，底面為菱形， ，側面為等腰直角三角形，，點為棱的中點．

（1）求證：面面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據線面垂直的判定定理，先證明面，再由面面垂直的判定定理，即可證明結論成立；

（2）先由題中數據，得到；再以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量與平面的法向量，求出兩向量夾角的余弦值，進而可得出結果.

（1）證明：∵，為棱的中點，∴，

又∵為菱形且，∴，

∵，∴面，

∵面，∴面面；

（2）解：∵，，∴，，

又，∴，則．

以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系．

則，，，，

，，．

設平面的一個法向量為．

由，取，得．

設直線與平面所成角為．

所以