Question

（2012•安徽模擬）設函數F(x)=

f(x)

ex

是定義在R上的函數，其中f（x）的導函數f′（x）滿足f′（x）＜f（x）對于x∈R恒成立，則（　　）

A．f（2）＞e²f（0），f（2012）＞e²⁰¹²f（0）

B．f（2）＜e²f（0），f（2012）＜e²⁰¹²f（0）

C．f（2）＞e²f（0），f（2012）＜e²⁰¹²f（0）

D．f（2）＜e²f（0），f（2012）＞e²⁰¹²f（0）

Answer 1

分析：根據函數F(x)=

f(x)

ex

的導數為F′（x）＜0，可得函數F(x)=

f(x)

ex

是定義在R上的減函數，故有F（2）
＜F（0），推出f（2）＜e²f（0）．同理可得f（2012）＜e²⁰¹²f（0），從而得出結論．

解答：解：函數F(x)=

f(x)

ex

的導數為F′（x）=

f′(x)ex-f(x)ex

(ex)2

=

f′(x)-f(x)

ex

＜0，
故函數F(x)=

f(x)

ex

是定義在R上的減函數，
∴F（2）＜F（0），即

f(2)

e2

＜

f(0)

e0

，故有f（2）＜e²f（0）．
同理可得f（2012）＜e²⁰¹²f（0）．
故選B．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，導數的運算法則的應用，屬于中檔題．