Question

14、下列命題中：
①若函數f（x）的定義域為R，則g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數；
②若f（x）是定義域為R的奇函數，對于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，則函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
③已知x₁，x₂是函數f（x）定義域內的兩個值，且x₁＜x₂，若f（x₁）＞f（x₂），則f（x）是減函數；
④若f （x）是定義在R上的奇函數，且f （x+2）也為奇函數，則f （x）是以4為周期的周期函數．
其中正確的命題序號是

①④

．

Answer 1

分析：由偶函數的定義，可判斷①的真假；由函數對稱性滿足的條件，及函數周期性的性質，可以判斷②的真假；由減函數的定義，可判斷③的真假；由周期函數的定義及性質，可以判斷④的真假，進而得到答案．

解答：解：∵g（x）=f（x）+f（-x），∴g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），故①g（x）是偶函數為真命題，
∵定義域為R的奇函數f（x），對于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，則f（x）=f（x-2），它表示函數是一個周期為2的周期函數，其圖象不一定是軸對稱圖形，故②函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱為假命題；
若f（x）是減函數，則要求任意x₁＜x₂，均有f（x₁）＞f（x₂），由于③中x₁，x₂是函數f（x）定義域內的兩個值，不具有任意性，故③為假命題；
若f （x）是定義在R上的奇函數，且f （x+2）也為奇函數，則f （x）是以4為周期的周期函數，故④為真命題．
故答案為：①④

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，函數單調性的判斷與證明，函數奇偶性的判斷，函數圖象的對稱性，及函數的奇偶性，是函數性質的綜合應用，熟練掌握函數性質的判定法則及函數性質的定義是解答本題的關鍵．