Question

【題目】已知指數函數滿足，定義域為的函數是奇函數.

（1）求函數的解析式；

（2）若函數在上有零點，求的取值范圍；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）（3，+∞）；（Ⅲ） [9，+∞）．

【解析】

試題（1）根據指數函數利用待定系數法求，利用奇函數用特值法求m,n，可得到解析式；（2）根據函數零點的存在性定理求k的取值范圍；（3）分析函數的單調性，轉化為關于t恒成立問題，利用分離參數法求k的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）設 ,則，

a=3, ，　

，

因為是奇函數，所以，即 ,

∴，又，

；

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，又因在（0，1）上有零點，

從而，即，

∴，　∴，

∴k的取值范圍為．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

∴在R上為減函數（不證明不扣分）．

又因是奇函數，

所以=，

因為減函數，由上式得：,

即對一切，有恒成立，

令m(x)=,,易知m(x)在上遞增，所以，

∴，即實數的取值范圍為．