Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為，且四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，為橢圓長(zhǎng)軸上一點(diǎn)，求的最大值與最小值；

（3）設(shè)是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是線段與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，并且滿足，，求點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)．（Ⅲ）

【解析】試題分析：（1）運(yùn)用正方形的性質(zhì)可得 ，求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè) 是橢圓上一點(diǎn)，則 ，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最值；

（3）通過(guò)連接 ，連接 利用橢圓定義可知 進(jìn)而為線段的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理可知 ，進(jìn)而可得軌跡方程．

試題解析：（Ⅰ）由題意得

所以橢圓的方程為：．

（Ⅱ）設(shè)，因?yàn)?/span>是橢圓上一點(diǎn)，所以

．

因?yàn)?/span>

所以當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)．

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn) 在軌跡上．

當(dāng)且時(shí)，由，得．

又，

所以，所以為線段的中點(diǎn)．

在中，，所以有

綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為