Question

已知點(diǎn)P是拋物線y²=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d，且點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)A（

7

2

，4），則|PA|+|PM|的最小值是

9

2

．

Answer 1

分析：由題意利用拋物線的定義可得，當(dāng)A、P、M共線時(shí)，|PA|+|PM|取得最小值，由此求得答案．

解答：解：拋物線焦點(diǎn)F（

1

2

，0），準(zhǔn)線x=-

1

2

，延長PM交準(zhǔn)線于N，由拋物線定義|PF|=|PN|，
∵|PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|≥|AF|=5，而|MN|=

1

2

，∴PA|+|PM|≥5-

1

2

=

9

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”號(hào)，此時(shí)，P位于拋物線上，∴|PA|+|PM|的最小值為

9

2

，
故答案為

9

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．