Question

【題目】已知函數且．

當時，函數恒有意義，求實數的取值范圍；

是否存在這樣的實數，使得函數在區間上為減函數，并且最大值為1？如果存在，試求出的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）設是減函數，

又時，有意義

且

的取值范圍是

（2）假設存在實數,滿足題設條件，在區間上單調遞減函數，且是減函數， 由已知即

但 這樣的實數不存在

【解析】

試題（1）根據對數函數的定義，可知且，時，顯然符合，時，由分離參數得，右邊函數在上單調遞減，故，故；（2）假設存在符合題設條件的實數，根據復合函數單調性可知，由（1）知，由的最大值為，與不符，故不存在.

試題解析：

（1）當時，由函數恒有定義知恒成立，即，

∴，又且，∴實數的取值范圍為；

（2）假設存在符合題設條件的實數，則函數在區間上為減函數，且是減函數，

∴，又在上恒為正，則，故，由的最大值為，與不符，故不存在符合題設條件的實數．