Question

已知函數在是增函數,在(0,1)為減函數.
（I）求、的表達式；
（II）求證:當時,方程有唯一解；
（Ⅲ）當時,若在∈內恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

（I）（II）由(1)可知,方程,
設,
令,并由得解知；（III）

試題分析：（I）依題意,即,.
∵上式恒成立,∴  ①                 …………………………1分
又,依題意,即,.
∵上式恒成立,∴   ②                …………………………2分
由①②得.                     …………………………3分
∴            …………………………4分
（II）由(1)可知,方程,
設,
令,并由得解知  ………5分
令由                 …………………………6分
列表分析:

	(0,1)	1	(1,+¥)
	-	0	+
	遞減	0	遞增

知在處有一個最小值0,            …………………………7分
當時,＞0,∴在(0,+¥)上只有一個解.
即當x＞0時,方程有唯一解.   ……………………8分
（III）設, ……9分
在為減函數 又     …………11分
所以：為所求范圍.               ………………12分
點評：導數的應用是高考的一個重點，利用導數求最值及判斷函數的單調性比用定義法要簡單的多，要注意利用這個工具