Question

如圖，在半徑為2

3

、圓心角為60°的扇形的弧AB上任取一點P，作扇形的內接矩形PNMQ，使點Q在OA上，點M，N在OB上，設矩形PNMQ的面積為y．
（Ⅰ）按下列要求求出函數關系式并寫出定義域：
①設PN=x，將y表示成x的函數關系式；
②設∠POB=θ，將y表示成θ的函數關系式．
（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個函數關系式，求y的最大值．

Answer 1

考點：弧度制的應用

專題：計算題,三角函數的求值

分析：（Ⅰ）①求出MN，PN可將y表示成x的函數關系式；②在Rt△PON中，利用直角三角形中的邊角關系求得 PN=Rsinθ，ON=Rcosθ，以及MQ和OM，可得關于矩形的面積S的解析式，化簡可得結果；
（2）由②得y=6sin2θ-2

3

(1-cos2θ)=4

3

sin(2θ+

π

6

)-2

3

，故當θ=

π

6

時，y取得最大值．

解答： 解：（1）①因為QM=PN=x，所以OM=

QM

tan600

=

x

3

，又ON=

12-x2

，
所以MN=ON-OM=

12-x2

-

x

3

，
故y=MN•PN=x•

12-x2

-

3 x2

3

（0＜x＜3），
②當∠POB=θ時，QM=PN=2

3

sinθ，則OM=

QM

tan600

=2sinθ，又ON=2

3

cosθ，
所以MN=ON-OM=2

3

cosθ-2sinθ，
故y=MN•PN=12sinθcosθ-4

3

sin2θ（0＜θ＜

π

3

）；

（2）由②得y=6sin2θ-2

3

(1-cos2θ)=4

3

sin(2θ+

π

6

)-2

3

，
故當θ=

π

6

時，y取得最大值為2

3

．

點評：本題主要考查直角三角形中的邊角關系，三角函數的恒等變換，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．