Question

（理）設橢圓的兩個焦點是F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），且橢圓上存在點M，使．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）若直線l：y=x+2與橢圓存在一個公共點E，使得|EF₁|+|EF₂|取得最小值，求此最小值及此時橢圓的方程；
（3）是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，與條件（Ⅱ）下的橢圓交于A、B兩點，使得經過AB的中點Q及N（0，-1）的直線NQ滿足？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由 可得|MF₁|²+|MF₂|²=4m，再結合基本不等式列不等關系，即可解得實數m的取值范圍；
（2）將直線的方程與橢圓C的方程組成方程組，消去y得到關于x的方程，再根據△≥0得m的取值范圍，最后根據函數的值域求出|EF₁|+|EF₂|取得最小值及此時橢圓的方程即可；
（3）設兩點設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中點Q（x，y），直線l的方程為y=kx+m，先將A，B兩點的坐標代入橢圓方程，兩式相減得Q（x，y）的軌跡方程，求得點Q的坐標，最后根據即可求出k的取值范圍．
解答：解（1）依題意：F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點，
∴．
（2）將y=x+2代入x²+（m+1）y²-m-1=0中
得：（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0，
∴△=16（m+1）²-12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m-2）≥0，又m≥1，
∴m≥2．
∴m=2時取最小值．此時橢圓的方程為．
（3）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線l的方程為y=kx+m，
代入橢圓的方程：x²+3y²-3=0中得：（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0．
∴△=36k²m²+12（1-m²）（3k²+1）=12（3k²+1-m²）＞0，
即3k²+1-m²＞0①
且，．
即．
又，
∴，直線NQ的方程為．
∴，化簡得：②
由①②得：k²＜1，
∴存在適合條件的直線l，其斜率k的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）．
點評：本題主要考查了橢圓的定義和標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題、平面向量數量積的運算等．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．