Question

一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區間為，，，，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖，如圖

（1）求的值；
（2）根據樣本數據，試估計盒子中小球重量的平均值；
（注：設樣本數據第組的頻率為，第組區間的中點值為，則樣本數據的平均值為.）
（3）從盒子中隨機抽取個小球，其中重量在內的小球個數為，求的分布列和數學期望.

Answer 1

（1）；（2）克；（3）詳見解析.

試題分析：（1）利用所有組的頻率之和（即各矩形的面積之和）為列等式求出的值；（2）利用每組的組中值（即每個矩形底邊的中點值）乘以相應組的頻率（即對應的矩形的面積）的乘積相加作為樣本數據的平均值，進而來估算總體的平均重量；（3）根據樣本數據的特點，確定隨機變量，確定隨機變量的可能取值，然后利用二項分布的概率計算求出隨機變量在相應取值下的概率，然后列出相應的分布列計算出隨機變量的數學期望即可.
試題解析：（1）由題意，得，
解得；
（2）個樣本小球重量的平均值為
（克）.
由樣本估計總體，可估計盒子中小球重量的平均值約為克；
（3）利用樣本估計總體，該盒子中小球重量在內的概率為，則.
的取值為、、、，，，
，.
的分布列為：
.（或者）