Question

在平面直角坐標系中，A點坐標為（1，1），B點與A點關于坐標原點對稱，過動點P作x軸的垂線，垂足為C點，而點D滿足，且有，
（1）求點D的軌跡方程；
（2）求△ABD面積的最大值；
（3）斜率為k的直線l被（1）中軌跡所截弦的中點為M，若∠AMB為直角，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據，求得P（x'，y'）滿足的方程：（x'）²+（y'）²=4…（*）．再由，可得x'=2x-1，y'=2y，代入（*）式得（2x-1）²+（2y）²=4，化簡即得點D的軌跡方程．
（2）根據D點滿足的方程，設D（+cosα，sinα），用點到直線的距離公式求得D到AB距離的最大值為1+，由此即可得到△ABD面積的最大值；
（3）∠AMB為直角，則點M在以AB為直徑的圓上，從而得到滿足條件的M在位于圓N：（x-）²+y²=1在x²+y²=2內的劣弧上，求出界點處的切線斜率，再觀察直線l的斜率的變化，可得斜率k的取值范圍．
解答：解：（1）設P（x'，y'），得=（1-x'，1-y'），=（-1-x'，-1-y'），
所以=（1-x'）（-1-x'）+（1-y'）（-1-y'）=（x'）²+（y'）²-2
∵，
∴點P的軌跡方程為（x'）²+（y'）²-2=2，即（x'）²+（y'）²=4…（*）
再設D（x'，y'），由得D為PC的中點
∴x=，y'=．
可得x'=2x-1，y'=2y．代入（*）式得（2x-1）²+（2y）²=4
化簡得點D的軌跡方程：（x-）²+y²=1
（2）設點D坐標為（+cosα，sinα），
求得直線AB的方程為x-y=0，得D到直線AB的距離為
d==
當時，d的最大值為1+，
因此△ABD面積的最大值為×AB×（1+）=1+；
（3）若∠AMB為直角，則點M在以AB為直徑的圓上
求得以AB為直徑的圓方程為x²+y²=2，該圓與D的軌跡交于點M₁（，）和M₂（，-）
滿足條件的點M位于圓N：（x-）²+y²=1在x²+y²=2內的劣弧上
∵==，得此時切線l的斜率k₁==-
==-，得此時切線l的斜率k₂==
∴運動點M，觀察斜率變化，可得直線l的斜率為k∈（-∞，-）∪（，+∞）
點評：本題以向量運算為載體，求動點的軌跡方程并求動直線斜率k的取值范圍，著重考查了向量的數量積、直線與圓的位置關系和動點軌跡方程求法等知識，屬于難題．