Question

已知函數f（x）=b•a^x（其中a，b為常量，且a＞0，a≠1）的圖象經過點A（1，6），B（3，24）．
（1）求f（x）；
（2）若不等式（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0在x∈（-∞，1]時恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）=b•a^x（其中a，b為常量，且a＞0，a≠1）的圖象經過點A（1，6），B（3，24），把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a^x，解此方程組即可求得a，b，的值，從而求得f（x）；（2）要使（

1

2

）^x+（

1

3

）^x≥m在（-∞，1]上恒成立，只需保證函數y=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在（-∞，1]上的最小值不小于m即可，利用函數的單調性求函數的最小值，即可求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a^x，得

6=ab 24=b•a3.

結合a＞0且a≠1，解得：

a=2 b=3.

∴f（x）=3•2^x．
（2）要使（

1

2

）^x+（

1

3

）^x≥m在（-∞，1]上恒成立，
只需保證函數y=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在（-∞，1]上的最小值不小于m即可．
∵函數y=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在（-∞，1]上為減函數，
∴當x=1時，y=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x有最小值．
∴只需m≤

5

6

即可．

點評：此題是個中檔題．考查待定系數法求函數的解析式，和利用指數函數的單調性求函數的最值，體現了轉化的思想，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．