Question

已知函數(shù)f（x）=b•a^x（其中a，b為常量，且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)A(1，

1

6

)，B(3，

1

24

)
（1）試確定f（x）的解析式；
（2）若不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x≤m在x∈（-∞，1]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用圖象過(guò)A，B兩點(diǎn)，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a，b．
（2）

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=b•a^x的圖象經(jīng)過(guò)A(1，

1

6

)，B(3，

1

24

)，所以

ab= 1 6 a3b= 1 24

，解得a=

1

2

，b=

1

3

．
所以f(x)=

1

3

?(

1

2

)x．
（2）不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x≤m為2^x+3^x≤m，設(shè)g（x）=2^x+3^x，則函數(shù)g（x）在∈（-∞，1]上單調(diào)遞增，所以g（x）≤2+3=5．
所以m≥5．，即實(shí)數(shù)m的最小值是5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．不等式恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為最值恒成立．