Question

【題目】在四棱錐中，平面平面，側面是邊長為的等邊三角形，底面是矩形，且，則該四棱錐外接球的表面積等于__________.

Answer 1

【答案】

【解析】∵平面SAB⊥平面SAD,平面SAB∩平面SAD=SA,側面SAB是邊長為的等邊三角形，設AB的中點為E，SA的中點為F，

則BF⊥SA，∴BF⊥平面SAD，∴BF⊥AD，底面ABCD是矩形，∴AD⊥平面SAB，SE平面SAB，

∴AD⊥SE，又SE⊥AB，AB∩AD=A，

∴SE⊥底面ABCD，作圖如下：

∵SAB是邊長為的等邊三角形，

∴.

又底面ABCD是矩形，且BC=4，

∴矩形ABCD的對角線長為，

∴矩形ABCD的外接圓的半徑為.

設該四棱錐外接球的球心為O，半徑為R，O到底面的距離為h，

則r2+h2=R2,即7+h2=R2,又R2=22+(SEh)2=4+(3h)2，

∴7+h2=4+(3h)2，

∴h=1.

∴R2=7+h2=8,

∴該四棱錐外接球的表面積.