Question

【題目】已知函數.

（1）當，求函數的圖象在處的切線方程；

（2）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（3）已知， ， 均為正實數，且，求證 .

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)見解析

【解析】試題分析：1）求導函數，可得切線的斜率，求出切點的坐標，可得函數y=f（x）的圖象在x=0處的切線方程；

（2）先確定﹣1≤a＜0，再根據函數f（x）在（0，1）上單調遞增，可得f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，構造=（x+1）ln（x+1）﹣x，證明h（x）在（0，1）上的值域為（0，2ln2﹣1），即可求實數a的取值范圍；

（3）由（2）知，當a=﹣1時， 在（0，1）上單調遞增，證明 ，即 從而可得結論．

試題解析：

（1）當時， 則，

則，

∴函數的圖象在時的切線方程為.

（2）∵函數在上單調遞增，∴在上無解，

當時， 在上無解滿足，

當時，只需，∴①

，

∵函數在上單調遞增，∴在上恒成立，

即在上恒成立.

設 ，

∵，∴，則在上單調遞增，

∴在上的值域為.

∴在上恒成立，則②

綜合①②得實數的取值范圍為.

（3）由（2）知，當時， 在上單調遞增，

于是當時， ，

當時， ，

∴ ，即 ，

同理有 ， ，

三式相加得 .