Question

已知函數f(x)=2sin(x+

α

2

)cos(x+

α

2

)+2

3

cos2(x+

α

2

)-

3

為偶函數，且α∈[0，π]
（1）求α的值；
（2）若x為三角形ABC的一個內角，求滿足f（x）=1的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過函數是偶函數，求出α的值；
（2）若x為三角形ABC的一個內角，通過f（x）=1得到三角函數的方程，然后求出x的值．

解答：解：（1）f(x)=2sin(x+

α

2

)cos(x+

α

2

)+2

3

cos2(x+

α

2

)-

3

=sin(2x+α)+

3

cos(2x+α)=2sin(2x+α+

π

3

)
由f（x）為偶函數得α+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z∴α=kπ+

π

6

，k∈Z又α∈[0，π]∴α=

π

6

（2）由f（x）=1得cos2x=

1

2

又x為三角形內角，x∈（0，π）∴x=

π

6

或x=

5π

6

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡求值，二倍角公式、兩角和的正弦函數的應用，考查計算能力，常考題型．