Question

判斷下列各命題正確與否：

(1)若a≠0，a·b=a·c，則b=c；

(2)若a·b=a·c，則b≠c當且僅當a=0時成立；

(3)(a·b)c=a(b·c)對任意向量a、b、c都成立；

(4)對任一向量a，有a²=|a|².

Answer 1

剖析：(1)(2)可由數量積的定義判斷.(3)通過計算判斷.(4)把a²轉化成a·a=|a|²可判斷.

解：(1)a·b=a·c，∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ(其中α、β分別為a與b，a與c的夾角).

    ∵|a|≠0,

    ∴|b|cosα=|c|cosβ.

    ∵cosα與cosβ不一定相等，

    ∴|b|與|c|不一定相等.

    ∴b與c也不一定相等.

    ∴(1)不正確.

    (2)若a·b=a·c，則|a||b|cosα=|a||c|cosβ(α、β為a與b，a與c的夾角).

    ∴|a|(|b|cosα-|c|cosβ)=0.

    ∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ.

    當b≠c時，|b|cosα與|c|cosβ可能相等.

    ∴(2)不正確.

    (3)(a·b)c=(|a||b|cosα)c,

    a(b·c)=a|b||c|cosθ(其中α、θ分別為a與b，b與c的夾角).

     (a·b)c是與c共線的向量,

    a(b·c)是與a共線的向量.

    ∴(3)不正確.(4)正確.

講評：判斷上述問題的關鍵是要掌握向量的數量積的含義，向量的數量積的運算律不同于實數乘法的運算律.