Question

設函數f(x)=

x2+1

-ax(a＞0)，
（I）求證：當且僅當a≥1時，f（x）在[0，+∞）內為單調函數；
（II）求a的取值范圍，使函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：（I）先求函數f(x)=

x2+1

-ax(a＞0)的導數f′（x），再證明a≥1時，f′（x）＜0，f（x）單調；而a＜1時，f′（x）先負后正，f（x）不單調
（II）由（1）知a≥1時f（x）單調遞減，不合題意，當0＜a＜1時，使函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數，需[1，+∞）是函數單調增區間的子區間，可求a的范圍

解答：解：（I）∵f′(x)=

x

x2+1

-a，
①當a≥1時，∵

x

x2+1

≤

|x|

x2+1

＜1≤a，∴f（x）在[0，+∞）上單調遞減
②當0＜a＜1時，由f′（x）＜0，得0≤x＜a

x2+1

⇒0≤x＜

a

1-a2

；
由f′（x）＞0得x＞a

x2+1

⇒x＞

a

1-a2

；
∴當0＜a＜1時，f（x）在[0，

a

1-a2

)為減函數，而在(

a

1-a2

，+∞)，為增函數，
∴當0＜a＜1時，f（x）在[0，+∞）上不是單調函數；
綜上，當且僅當a≥1時，f（x）在[0，+∞）上為單調函數．
（II）由（I）①知當a≥1時f（x）單調遞減，不合；  由②知當f（x）在[1，+∞）上單調遞增等價于：

a

1-a2

≤1，∴0＜a≤

2

2

，即a的取值范圍是(0，

2

2

]．

點評：本題考查了導數在函數的單調性上的應用，解題時要學會對參數進行討論，做到不重不漏，還要注意一題中兩問間的關系