Question

已知函數f（x）=ax_³+bx²+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數），其導函數為f′（x）．
（1）當a=時，若不等式f'（x）＞-對任意x∈R恒成立，求b的取值范圍；
（2）若函數f（x）為奇函數，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，討論關于x的方程f（x）=k在[-1，+∞）上實數根的情況．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數，利用不等式f'（x）＞-對任意x∈R恒成立，可得x²+2bx+b＞0恒成立，利用判別式可得b的取值范圍；
（2）利用函數f（x）為奇函數，函數f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，求出函數解析式，從而確定函數的單調性，求出函數的極值，再分類討論，即可得到結論．
解答：解：（1）當a=時，f′（x）=x²+2bx+b-，
依題意f′（x）=x²+2bx+b-＞，即x²+2bx+b＞0恒成立
∴△=4b²-4b＜0，解得0＜b＜1
所以b的取值范圍是（0，1）；
（2）∵函數f（x）為奇函數，∴f（-x）=-f（x），∴b=0，∴函數f（x）=ax³-ax
∴f′（x）=3ax²-a
∵函數f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0
∴a=1
∴f（x）=x³-x，f′（x）=3x²-1
∴f（x）在（-∞，-），（，+∞）上單調遞增，在（-，）上單調遞減
由f（x）=0得x=±1，x=0
f（x）在[-1，+∞）上圖象如圖所示
∵f（）=，f（）=-，
∴當k＜-時，f（x）=k在[-1，+∞）上沒有實數根；
當k＞或k=-時，f（x）=k在[-1，+∞）上有且只有一個實數根；
當k=或-＜k＜0時，f（x）=k在[-1，+∞）上有兩個實數根；
當0＜k＜時，f（x）=k在[-1，+∞）上有三個實數根．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查分類討論的數學思想，考查方程根的討論，屬于中檔題．