Question

【題目】已知點為拋物線內一定點，過作兩條直線交拋物線于，且分別是線段的中點．

（1）當時，求△的面積的最小值；

（2）若且，證明：直線過定點，并求定點坐標。

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析

【解析】

設出所在的直線方程，代入拋物線方程，寫出韋達定理，得出點坐標，設出直線的方程，代入拋物線方程，同理得出點坐標. （1）利用面積公式求得面積的表達式，并利用基本不等式求得面積的最小值.（2）先求得直線的斜率，根據點斜式求得直線所在直線方程，利用的表達式進行化簡，由此求得定點.

所在直線的方程為，代入中，得，設，則有，從而．則．設所在直線的方程為，同理可得．

（1），． 又，故，于是△的面積 ，當且僅當時等號成立．所以，△的面積的最小值為.

（2），所在直線的方程為，

即．又，即，代入上式，得，即 ．∵，∴是此方程的一組解，所以直線恒過定點．