Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂，過F₁作傾斜角為30°的直線與橢圓的一個交點為P，且PF₂⊥x軸，則此橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2c，推斷出|PF₁|=2|PF₂|，進而根據橢圓的定義分別表示出|PF₂|和|PF₁|，進而根據勾股定理建立等式求得a和c的關系，則橢圓離心率可得．

解答： 解：在Rt△PF₂F₁中，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2c，|PF₁|=2|PF₂|，
根據橢圓的定義得|PF₂|=

2

3

a，|PF₁|=

4

3

a，
又|PF₁|²-|PF₂|²=|F₁F₂|²，即

16

9

a²-

4

9

a²=4c²，
∴e=

c

a

=

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的關鍵是靈活利用了橢圓的定義．