Question

【題目】已知函數，.

（1）證明：在區間上單調遞增；

（2）若存在，使得與在的值域相同，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出，可證明，恒成立，故可得為上的增函數.

（2）先討論時的情形，此時可把的存在性問題轉化為在存在兩個不同的零點問題，利用導數和零點存在定理可得.再討論的情形，利用兩個函數的函數值的符號可判定這種情況不成立，兩者結合可求的取值范圍.

（1）因為，故且，

令，故.

當時，，故在上為增函數，

所以，

故，，故為上的增函數.

（2）因為，故在為增函數，

故在上的值域為.

當時，的值域為，故，

所以在有兩個不同的解.

令，

故在有兩個不同的零點.

又，

當時，，

故為上的單調增函數，

故在最多有一個解，舍去.

當時，.

取，，

令，則，

故在為增函數，

故，

故在有且只有一個實數解且.

當，，故在為減函數；

當時，，故在為增函數；

故.

又，所以

因為在有兩個不同的零點，

故即.

令，其中，

故，故在上為減函數，

故不等式的解為，

所以.

令及，

因為為開口向上的二次函數，

故存在，使得當任意時，總有，

而，故在上為增函數，

當對任意的時，總有 ，

因為，故當，，

根據零點存在定理，在上有且只有一個零點.

因為在有兩個不同的零點，故，

所以即，

又，故，

所以.

當時，在上始終滿足，

由（1）可知在為增函數，故，

不符合題設要求，舍去.

綜上，.