Question

【題目】設是正整數，集合是數集的一個子集，且中任意兩個數的差不等于4或7.若的元素個數的最大值記為（如，），試求.

Answer 1

【答案】

【解析】

易知1、4、6、7、9這五個數中的任意兩個數的差都不是4或7，各加上11得到12、15、17、18、20，顯然也是這樣的數，且各與前五個數中的任意一個數的差也不是4或7.由此類推知，對于每個確定的正整數，每連續11個數中可取五個數，余下的個數中取個數，一起組成集合（表示不超過實數的最大整數）.

下面證明：中不可能包含更多的數.

倘若不然，則上述中前各11數組中至少有一組可以從中取六個數，使得任意兩個數之差都不是4或7.

不妨考慮1，2，，11這組數，把它們分成五個小組：

，，，，，其中，至少要求有一組要取出兩個數.顯然，前四組中每組的兩個數不能同取，最多一組取一個數，因此，只能在第五組中取4、7.

于是，中只能取1，中只能取9，中只能取6.

這樣，中3、10這兩個數都不能取，從而知不可能取得第六個數.故

.

當時，；

當時，如，可考慮余下1，2，…，8這八個數，把它們分成四個組：

，，，，每組取一個共4個，即；

當時，如，可考慮余下1，2，…，9這九個數，把它們分成五個組：

，，，，，可取1、3、4、6、9這五個數，.

因為，所以，

.