Question

已知冪函數f(x)=x-

1

2

p2+p+

3

2

（p∈N）在（0，+∞）上是增函數，且在定義域上是偶函數．
（1）求p的值，并寫出相應的f（x）的解析式；
（2）對于（1）中求得的函數f（x），設函數g（x）=-qf[f（x）]+（2q-1）f（x）+1，問：是否存在實數q（q＜0），使得g（x）在區間（-∞，-4]上是減函數，且在區間（-4，0）（10）上是增函數？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為冪函數因為函數在（0，+∞）上是增函數得：得到-

1

2

p²+p+

3

2

＞0，求出p的解集，找出整數解即可．又因為函數是偶函數得到p的整數解，最后寫出相應的f（x）的解析式；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在實數q（q＜0），使得g（x）在區間（-∞，-4]上是減函數，且在區間（-4，0）（10）上是增函數，再利用復合函數的單調性，求出q的值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）因為函數在（0，+∞）上是增函數得：
∴-

1

2

p²+p+

3

2

＞0，解得-1＜p＜3
 又因為p∈N
則p=0，2
函數為f(x)=x

3

2

不為偶函數
則p=1．
故f（x）=x²．
（2）存在．
可設x²=t
則函數g（x）=-qf（x）+（2q-1）x²+1=-qt²+（2q-1）t+1，t≥0，
得其對稱軸為t=

2q-1

2q

  又q＜0，所以拋物線開口向上，
g（x）在區間（-∞，-4）上是減函數，且在（-4，0）上是增函數
所以t必須在區間（16，+∞）上是減函數，且在（0，16）上是增函數
又t=x²本身是增函數，那么對稱軸要等于16
即

2q-1

2q

=16   解得q=-

1

30

滿足（q＜0）的條件． 
所以存在實數q（q＜0），使得g（x）在區間（-∞，-4]上是減函數，且在區間（-4，0）（10）上是增函數．

點評：考查學生冪函數的性質掌握能力，函數奇偶性的判斷能力，以及函數單調性的應用能力．