Question

等腰直角三角形OAB內接于拋物線y²=2px（p＞0），O是拋物線的頂點，OA⊥OB，則△OAB的面積為

4p²

．

Answer 1

分析：設等腰直角三角形OAB的頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用OA=OB可求得x₁=x₂，進而可求得AB=4p，從而可得S_△OAB．

解答：解：設等腰直角三角形OAB的頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y12=2px₁，y22=2px₂，
由OA=OB得：x12+y12=x22+y22，
∴x12-x22+2px₁-2px₂=0，即（x₁-x₂）（x₁+x₂+2p）=0，
∵x₁＞0，x₂＞0，2p＞0，
∴x₁=x₂，即A，B關于x軸對稱．
∴直線OA的方程為：y=xtan45°=x，由

y2=2px y=x

解得

x=0 y=0

或

x=2p y=2p

，
故AB=4p，
∴S_△OAB=

1

2

×2p×4p=4p²．
故答案為：4p²．

點評：本題考查拋物線的簡單性質，求得A，B關于x軸對稱是關鍵，考查分析與運算能力，屬于中檔題．