Question

已知圓C：x²＋y²＝r²(r>0)經過點(1，)．
(1)求圓C的方程；
(2)是否存在經過點(－1,1)的直線l，它與圓C相交于A，B兩個不同點，且滿足＝＋(O為坐標原點)關系的點M也在圓C上？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

　(1)由圓C：x²＋y²＝r²，再由點(1，)在圓C上，得r²＝1²＋()²＝4
所以圓C的方程為
x²＋y²＝4；
(2)假設直線l存在，
設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
M(x₀，y₀)
①若直線l的斜率存在，設直線l的方程為：
y－1＝k(x＋1)，
聯立
消去y得，
(1＋k²)x²＋2k(k＋1)x＋k²＋2k－3＝0，
由韋達定理得x₁＋x₂
＝－＝－2＋，
x₁x₂＝＝1＋，
y₁y₂＝k²x₁x₂＋k(k＋1)(x₁＋x₂)＋(k＋1)²＝－3，
因為點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在圓C上，
因此，得x＋y＝4，
x＋y＝4，
由＝＋得x₀
＝，y₀＝，
由于點M也在圓C上，
則²＋²
＝4，
整理得，＋3＋x₁x₂＋y₁y₂＝4，
即x₁x₂＋y₁y₂＝0，所以1＋＋(－3)＝0，
從而得，k²－2k＋1＝0，即k＝1，因此，直線l的方程為
y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0，
②若直線l的斜率不存在，
則A(－1，)，B(－1，－)，M
²＋²
＝4－≠4，
故點M不在圓上與題設矛盾
綜上所知：k＝1，直線方程為x－y＋2＝0

解析