Question

（本題滿分13分）如圖，在三棱柱中，已知
側面

(Ⅰ)求直線C₁B與底面ABC所成角正切值；
(Ⅱ)在棱（不包含端點上確定一點的位置，使得(要求說明理由).
(Ⅲ)在（2）的條件下,若，求二面角的大小.

Answer 1

(Ⅰ) 2    (Ⅱ)為的中點     (Ⅲ) 45°

本試題主要是考查了線面角和線線垂直的證明，以及二面角的平面角的求解的綜合運用。
（1）先建立空間直角坐標系，然后表示平面的法向量以及直線的斜向量，利用向量的夾角公式得到線面角的求解。
（2）假設存在點使得滿足題意，然后利用垂直關系解得點的坐標，進而分析得到結論。
（3）在前面的基礎上，進一步得到兩個半平面的法向量的求解，結合法向量的夾角公式得到二面角的平面角的大小的運算。
解：如圖，以B為原點建立空間直角坐標系，

則，，···················· 1分
(Ⅰ)直三棱柱中，平面的法向量，又，
設，
則 ·············· 3分
 即直線與底面所成角正切值為2.  ·········· 4分
（Ⅱ）設，則，
，∴  
，即 ·················· 8分
Ⅲ）∵，則，
設平面的法向量，
則，取 ··········· 10分
∵，∴，
又····················· 11分
∴平面的法向量，∴
∴二面角的大小為45°   13分