Question

已知數列{a_n}各項均為正數，S_n為其前n項和，對于，總有成等差數列.
(I )求數列{a_n}的通項a_n；
(II)設數列的前n項和為T_n,數列{T_n}的前n項和為R_n,求證：時，；
(III)對任意，試比較與的大小

Answer 1

（I）a_n=1+(n-1)·1="n" (n∈N^*)．（2）略 （3）

(I )由條件得，遞寫相減得a_n+1-a_n=1，由等差數列求得通項；(II)求出兩邊表達式證明相等；(III)數學歸納法或不等式證明。
解：（I）由題意，得（n∈N*）．
于是，
兩式相減，得，
即a_n+1+a_n=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n)，
由題，a_n>0，a_n+1+a_n≠0，
得a_n+1-a_n=1，即{a_n}為公差為1的等差數列．
又由，得a₁=1或a₁=0（舍去）．
∴ a_n=1+(n-1)·1="n" (n∈N^*)．……………………………………………5分
（II）證法一：由（I）知，于是，
于是當n≥2時，
=
=
=
==n(T_n-1).   ……………………………10分
法二：①當n=2時，R₁=T₁==1，2(T₂-1)=2(=1，
∴ n=2時，等式成立．
②假設n=k（k≥2）時，等式成立，即，
當n=k+1時，
==  = 
==  =．
∴ 當n=k+1時，等式也成立．
綜合①②知，原等式對n≥2，n∈N*均成立．  …………………………10分
（III）由（I）知，．
由分析法易知，，
當k≥2時，
，∴

．即．