Question

設函數f（x）的定義域為R，當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數x，y∈R，有
f（x+y）=f（x）f（y）
（Ⅰ）求f（0），判斷并證明函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）數列{a_n}滿足a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N*)
①求{a_n}通項公式．
②當a＞1時，不等式

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

＞

12

35

(loga+1x-logax+1)對不小于2的正整數恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：本題考查的是抽象函數與數列的綜合問題．在解答時，對（Ⅰ）可以先利用特值解得f（0），再利用單調性的定義判斷函數的單調性即可；對（Ⅱ）因為數列的首項易求，再結合f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N*)，可知數列的通項公式為a_n=2n-1從而①即可解答；對②利用等差數列的知識可求的不等式左邊的和進而獲得最小值從而找到有關x的不等式，最終即可獲得解答．

解答：解：（Ⅰ）x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y），x＜0時，f（x）＞1
令x=-1，y=0則f（-1）=f（-1）f（0）∵f（-1）＞1
∴f（0）=1
若x＞0，則f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）
故f(x)=

1

f(-x)

∈(0，1)
故x∈Rf（x）＞0
任取x₁＜x₂f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁）
∵x₂-x₁＞0∴0＜f（x₂-x₁）＜1
∴f（x₂）＜f（x₁）
故f（x）在R上減函數

（Ⅱ）①a1=f(0)=1，f(an+1)=

1

f(-2-an)

=f(2+an)
由f（x）單調性知，a_n+1=a_n+2故{a_n}等差數列
∴a_n=2n-1
②bn=

1

an+1

+

1

an+2

++

1

a2n

，則bn+1=

1

an+2

+

1

an+3

++

1

a2n+2

bn+1-bn=

1

a2n+1

+

1

a2n+2

-

1

an+1

=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n+1

=

1

(4n+1)(4n+3)(2n+1)

＞0，{bn}是遞增數列
當n≥2時，(bn)min=b2=

1

a3

+

1

a4

=

1

5

+

1

7

=

12

35

∴

12

35

＞

12

35

(loga+1x-logax+1)
即log_a+1x-log_ax+1＜1?log_a+1x＜log_ax
而a＞1，
∴x＞1
故x的取值范圍：（1，+∞）

點評：本題考查的是抽象函數與數列的綜合問題．在解答的過程當中充分體現了抽象函數特值的思想、數列求和的思想、恒成立的思想以及解不等式和問題轉化的思想．值得同學們體會反思．