Question

定義在R上的函數f（x）滿足：對任意實數m，n，總有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）試求f（0）的值；
（2）判斷f（x）的單調性并證明你的結論；
（3）若不等式f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t²-4t+13）對t∈[4，6]恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令m=1，n=0，可求出f（0），（2）根據單調性的定義證明函數的單調性，（3）根據（2）的結論，去掉對應法則f，把f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t²-4t+13）轉化不等式為（t-2）（|x-4|-|x+4|）＜t²-4t+13，達到求解目的．

解答：解：（1）令m=1，n=0，則f（1）=f（1）f（0），又0＜f（1）＜1，故f（0）=1
（2）當x＜0時，-x＞0，則0＜f(-x)＜1⇒f(x)=

1

f(-x)

＞0
即對任意x∈R都有f（x）＞0
對于任意x₁＞x₂，

f(x1)

f(x2)

=f(x1-x2)＜1⇒f(x1)＜f(x2)
即f（x）在R上為減函數．

（3）∵y=f（x）為R上的減函數
∴f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t²-4t+13）
?（t-2）（|x-4|-|x+4|）＜t²-4t+13?|x-4|-|x+4|＜

t2-4t+13

t-2

由題意知，|x-4|-|x+4|＜(

t2-4t+13

t-2

)min
而

t2-4t+13

t-2

=(t-2)+

9

t-2

∈[6，  6

1

2

]
∴須|x-4|-|x+4|＜6，解不等式得x＞-3
所以原不等式的解集為：{x：x＞-3}．

點評：抽象函數求某點的函數值，通常采取賦值法解決；對于抽象函數的單調性，奇偶性的判定，一般采取定義解決，對于不等式恒成立的問題，分離參數是首選方法，此題難度較大，綜合性強，屬難題．