Question

設奇函數f（x）在[-1，1]上是增函數，且f（-1）=-1，當a∈[-1，1]時，f（x）≤t²-2at+1對所有的x∈[-1，1]恒成立，則t的取值范圍是（ ）
A．t≥2或t≤-2或t=0
B．t≥2或t≤2
C．t＞2或t＜-2或t=0
D．-2≤t≤2

Answer 1

【答案】分析：根據題意，由f（x）的奇偶性與單調性分析可得f（x）在[-1，1]最大值是1，由此可以得到1≤t²-2at+1，變形可得t²-2at≥0對于a∈[-1，1]恒成立，因其在a∈[-1，1]時恒成立，可以改變變量，以a為變量，利用一次函數的單調性轉化求解；綜合可得答案．
解答：解：根據題意，f（x）是奇函數且f（-1）=-1，則f（1）=1，
又由f（x）在[-1，1]上是增函數，則f（x）在[-1，1]上最大值為f（1）=1，
若當a∈[-1，1]時，f（x）≤t²-2at+1對所有的x∈[-1，1]恒成立，
則有1≤t²-2at+1對于a∈[-1，1]恒成立，即t²-2at≥0對于a∈[-1，1]恒成立，
當t=0時顯然成立
當t≠0時，則t²-2at≥0成立，又a∈[-1，1]
令g（a）=2at-t²，a∈[-1，1]
當t＞0時，g（a）是減函數，故令g（1）≥0，解得t≥2
當t＜0時，g（a）是增函數，故令g（-1）≥0，解得t≤-2
綜上知，t≥2或t≤-2或t=0；
故選A．
點評：本題考查函數的奇偶性與單調性的應用，涉及函數恒成立問題；難點在于運用轉化思想將t²-2at≥0恒成立轉化為-2ta+t²≥0恒成立，進而由一次函數的性質分析得到答案．