Question

如果設奇函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，且f（2）=0，則不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集為（　　）

A．（-2，0）∪（2，+∞）

B．（-∞，-2）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析：由函數f（x）為奇函數，可得不等式即

2f(x)

x

＜0，即 x和f（x）異號，故有

x＞0 f(x)＜0

，或

x＜0 f(x)＞0

；再結合函數f（x）的單調性示意圖可得x的范圍．

解答：解：由函數f（x）為奇函數，可得不等式即

2f(x)

x

＜0，即 x和f（x）異號，
故有  

x＞0 f(x)＜0

，或 

x＜0 f(x)＞0

．
再由f（2）=0，可得f（-2）=0，
由函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，可得函數f（x）在（-∞，0）上也為增函數，
結合函數f（x）的單調性示意圖可得，-2＜x＜0，或 0＜x＜2，
故選 D．

點評：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的應用，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．