Question

已知橢圓b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）與圓x²+y²=4c²只有兩個公共點，其中c是該橢圓的半焦距，橢圓上的點到直線x-y-c=0距離的最大值為2

2

．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若a＞2c時，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）與圓x²+y²=4c²只有兩個公共點，可得圓x²+y²=4c²必過橢圓長軸端點或短軸端點，分類討論，即可求得橢圓的離心率；
（2）先確定a2=

5

4

b2，求出與直線x-y-c=0平行，與橢圓相切時直線的方程，利用此直線題意直線x-y-c=0距離為2

2

，即可求得橢圓的方程．

解答：解：（1）橢圓b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）與圓x²+y²=4c²只有兩個公共點，
故圓x²+y²=4c²必過橢圓長軸端點或短軸端點，2c=a或2c=b…（3分）
當2c=a時，可得e=

1

2

；當2c=b時，可得e=

5

5

．…（6分）
（2）∵a＞2c，∴b=2c，∴a2=

5

4

b2，
∴橢圓b²x²+a²y²=a²b²為x²+

5

4

y²=a²．
設直線x-y+m=0與x²+

5

4

y²=a²聯(lián)立，消去y可得9x²+10mx+5m²-4a²=0
令△=0可得m=±

3

5

5

a，根據(jù)題意，取m=

3

5

5

a
由題意，直線x-y+

3

5

5

a=0與直線x-y-c=0距離為2

2

．
∴

| 3 5 5 a+c|

2

=2

2

∵a=

5

c
∴a²=5c²
∵a2=

5

4

b2
∴c=1，a=

5

，b=2
∴橢圓的方程為

x2

5

+

y2

4

=1…12分

點評：本題考查圓與橢圓的綜合，考查橢圓的標準方程，解題的關鍵是求出與直線x-y-c=0平行，與橢圓相切時直線的方程．