Question

[文]已知圓（x-2）²+（y-1）²=

20

3

，橢圓b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，若圓與橢圓相交于A、B，且線段AB是圓的直徑，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：先利用條件把橢圓的方程轉化，再利用圓與橢圓相交于A、B，且線段AB是圓的直徑求出關于b和點A、B坐標之間的方程，解方程可得b值，進而求出橢圓的方程．

解答：解：∵e=

c

a

=

a2-b2 a2

=

2

2

，∴a²=2b²．
因此，所求橢圓的方程為x²+2y²=2b²，
又∵AB為直徑，（2，1）為圓心，即（2，1）是線段AB的中點，
設A（2-m，1-n），B（2+m，1+n），
則

(2-m)2+2(1-n)2=2b2 (2+m)2+2(1+n)2=2b2 |AB|=2 20 3

?

8+2m2+4+4n2=4b2 8m+8n=0 2 m2+n2 =2 20 3

?

2b2=6+m2+2n2 m2=n2= 10 3

得2b²=16．
故所求橢圓的方程為x²+2y²=16

點評：本題是對圓與橢圓的綜合考查．在圓中，如果一線段是直徑那么應有兩條結論．一是過圓心，二是長為半徑的二倍..