Question

拋物線y²=4x的焦點為F，點A、B在拋物線上（A點在第一象限，B點在第四象限），且|FA|=2，|FB|=5，
（1）求點A、B的坐標；
（2）求線段AB的長度和直線AB的方程；
（3）在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使△PAB的面積最大，并求這個最大面積．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知，|FA|=2，|FB|=5，可根據拋物線的定義求出兩點的橫坐標，再代入方程求出它們的縱坐標，求得點A、B的坐標；
（2）由（1）兩點坐標已知，故由兩點間距離公式求出兩點的距離，由直線方程的兩點式求出直線AB的方程；
（3）由題意，求△PAB的面積最大值可轉化為求點P到直線AB的距離的最大值，設出點P的坐標，由點到直線的距離公式建立起點P到直線AB的距離的函數關系式，利用函數的知識求出最值，即可求出面積的最大值以及此時的點P的坐標．

解答：解：（1）拋物線的焦點F（1，0），點A在第一象限，設A（x₁，y₁），y₁＞0，
由|FA|=2得x₁+1=2，x₁=1，代入y²=4x中得y₁=2，所以A（1，2），…（2分）；
同理B（4，-4），…（4分）
（2）由A（1，2），B（4，-4）得|AB|=

(1-4)2+(2+4)2

=3

5

…（6分）
直線AB的方程為

y-2

-4-2

=

x-1

4-1

，化簡得2x+y-4=0．…（8分）
（3）設在拋物線AOB這段曲線上任一點P（x₀，y₀），且0≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
則點P到直線AB的距離d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y0 2 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

 …（9分）
所以當y₀=-1時，d取最大值

9 5

10

，…（10分）
所以△PAB的面積最大值為S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=27  …（11分）
此時P點坐標為（

1

4

，-1）．…（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，解題的關鍵是依據拋物線的定義求出兩點的坐標，熟練掌握兩點間距離公式，點到直線的距離公式，直線方程的求法對解答本題也很關鍵，本題考查了推理判斷的能力及符號運用的能力，運算量較大，直線與圓錐曲線的關系是近幾年高考對圓錐曲線考查的一個重要形式，題后要認真總結此類題的做題規律