Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣1﹣ ，a∈R．
（1）若函數g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，求a的范圍；
（2）當a≤﹣1時，證明：f（x）lnx＞0對于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）=（x﹣1）f（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax，x∈（0，1），

g′（x）=xex﹣a﹣1，

由函數g（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，等價于g′（x）=xex﹣a﹣1在（0，1）上有且僅有一個變號零點，

令H（x）=xex﹣a﹣1，x∈[0，1]，

H′（x）=ex（x+1），由x∈[0，1]，H′（x）＞0，

H（x）在[0，1]單調遞增，

∴H（0）=﹣a﹣1＜0，H（1）=e﹣a﹣1＞0，

解得：﹣1＜a＜e﹣1，

∴當﹣1＜a＜e﹣1時，函數g（x）在（0，1）上有且只有一個極值點

（2）證明：f（x）lnx=（ex﹣1﹣ ）lnx，只需證： lnx[（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax]≥0 在 （0，1）∪（1，+∞） 上恒成立，

由x∈（0，1）∪（1，+∞） 時， lnx＞0恒成立，

∴只需證：（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax≥0 在（0，+∞）恒成立，

設g（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax，x∈[0，+∞），

由g（0）=0 恒成立，

∴只需證：g（x）≥0 在[0，+∞），恒成立 g′（x）=xex﹣1﹣a，

g″（x）=（x+1）ex＞0恒成立，

∴g′（x）單調遞增，g′（x）≥g′（0）=﹣1﹣a≥0，

∴g（x）單調遞增，g（x）≥g（0）=0，

∴g（x）≥0 在[0，+∞）恒成立，

∴f（x）lnx＞0對于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立

【解析】（1）由題意可知：由函數g（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，等價于g′（x）=xex﹣a﹣1在（0，1）上有且僅有一個變號零點，構造輔助函數，根據函數的單調性，即可求得a的范圍；（2）由題意，利用分析法，由結論可得 （x﹣1）（ex﹣1）﹣ax≥0 在（0，+∞）恒成立，設g（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax，x∈[0，+∞），利用導數研究函數g（x）單調性，則結論易得．
【考點精析】掌握函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．