Question

【題目】在平面直角坐標平面中，的兩個頂點為，平面內兩點、同時滿足：①；②；③．

（1）求頂點的軌跡的方程；

（2）過點作兩條互相垂直的直線，直線與點的軌跡相交弦分別為，設弦的中點分別為．

①求四邊形的面積的最小值；

②試問：直線是否恒過一個定點？若過定點，請求出該定點，若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

試題分析：（1）根據得，所以為的重心，由②知是的外心，設求得，，根據化簡得；（2）①由已知得，由此可設出直線方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，利用根與系數關系、弦長公式和點到直線距離公式求得面積的表達式，利用基本不等式求得最小值為；②根據中點坐標公式得，同理可求得，利用直線方程兩點式求得直線方程，并令求得，所以直線過定點.

試題解析：

（1）∵，由①知，∴為的重心，設，則，由②知是的外心，∴在軸上由③知，由，得，化簡整理得：．

（2）解：恰為的右焦點，

①當直線的斜率存且不為0時，設直線的方程為，

由，

設則，

①根據焦半徑公式得，

又，

所以，同理，

則，

當，即時取等號．

②根據中點坐標公式得，同理可求得，

則直線的斜率為，

∴直線的方程為，

整理化簡得，

令，解得，∴直線恒過定點，

②當直線有一條直線斜率不存在時，另一條斜率一定為0，直線即為軸，過點，

綜上，的最小值的，直線恒過定點．