Question

【題目】設F為拋物線的焦點，A、B是拋物線C上的兩個動點，O為坐標原點．

(I)若直線AB經過焦點F，且斜率為2，求線段AB的長度|AB|；

(II)當OA⊥OB時，求證：直線AB經過定點M(4，0)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）直線AB經過定點M（4,0）

【解析】分析：（I）由題意得到直線AB的方程，代入拋物線方程后，結合根據系數的關系和弦長公式可得所求．（II）設直線AB的方程為，代入拋物線方程消去x后得到二次方程，由OA⊥OB及根與系數的關系可得，從而證得直線過定點．

詳解：（I）由題意得F（1,0），則直線AB的方程為．

由，消去y整理得．

其中△=5>0．

設點，

則，

所以．

（II）方法一：因為A，B是拋物線C上的兩點，

所以設，

由OA⊥OB得，

所以．

所以

因為，

所以∥，

即直線AB經過定點M（4,0）．

方法二：設直線AB的方程為，

由消去x整理得，

∵直線AB與拋物線交于兩點，

∴．

設，

則．

∵OA⊥OB，

∴

，

∴，

解得，

∴直線AB的方程為，

∴直線AB經過定點M（4,0）．